ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO FUNDAMENTAL
DAVID CANABARRO
RUA LIDIA MOSCHETTI , 200 – J.
Leopoldina
Fone: 3368-7094 Porto Alegre
RS
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Equação do 2º grau na variável x é toda equação do
tipo ax² + bx + c = 0, na qual a, b e c são números reais e a ≠ 0. As letras a, b e c são usadas para representar coeficientes
da equação, nesta ordem ax² + bx + c = 0.
Exemplos:
·
2x²
- 11x + 5 = 0 é uma equação do 2º grau, com a = 2, b = -11 e c = 5
·
X²
- 3x – 10 = 0 é uma equação do 2º grau, com a = 1, b = -3 e c = -10
·
3x²
- 7x = 0 é uma equação de 2º grau com a = 3, b = -7 e c = 0
·
X²
- 4 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -4
EXERCÍCIOS:
1)
Observe
as equações e responda:
a)
X²
- 5x + 6 = 0
b)
2x
– 7 = 0
c)
X³
- x² = 10
d)
6x²
- x = 0
e)
3x
+ 4 = 20
f)
4x²
- 2 = 34
g)
2x4
- 8 = 0
h)
9x
+ 6 = 7x + 4
- Quais são
equações do 1º grau?
- Quais são
equações do 2º grau?
- Quais são
equações do 3º grau?
- Quais são
equações do 4º grau?
2) Em cada equação do 2º grau a seguir, diga quais são os valores de a, b e c:
a) 3x² + 11x
+ 6 = 0
a =
b =
c =
b) x² + x =
0
a =
b =
c =
c) 2x² - 50
= 0
a =
b =
c =
d) x² - 4,5x
+ 4,5 = 0
a =
b =
c =
Resolvendo equações do 2º grau
Leia a pergunta:
Qual é o número que elevado ao
quadrado resulta em 9?
Para representar essa situação
podemos chamar o número desconhecido de x e escrever:
X² = 9
Há dois números que elevados ao
quadrado resultam em 9: 3 e -3. Indicamos assim:
X² = 9
X = ±
√9
X = ±
3
3 e -3 são as soluções, ou seja, são
as raízes da equação do 2º
grau: x² = 9.
Essa equação tem duas raízes, o que
não ocorreria quando resolvíamos equações de 1º
grau.
Exemplos:
1)
a) X² + 1 = 10
X² = 10 – 1
X² = 9
X = ± √9
X = ± 3
b) X² - 1 = 48
X² = 48 + 1
X² = 49
X = ± √49
X = ± 7
c) 3x² = 75
X² = 75/3
X² = 25
X = ± √25
X = ± 5
d) X²/4 = 9
X² = 9 . 4
X² = 36
X = ± √36
X = ± 6
2)
Existe
um número real que elevado ao quadrado e somado a 16 resulta em zero?
- número desconhecido: x
- elevando ao quadrado e somando 16, temos x² + 16 = 0
- Resolvendo: x² = -16
X² = ± √-16
- mas não existe número real que elevado ao quadrado resulte
em um número negativo.
3)
Pensei
em número; elevei-o ao quadrado e somei ao próprio número. Como resultado,
obtive o triplo do número inicial. Em que número pensei?
- número: x
- quadrado do número: x²
- triplo do número: 3x
- equação: x² + x = 3x
- resolução: x² + x – 3x = 0
X² - 2x = 0
- neste ponto relembramos que x é fator comum e pode ser
colocado em evidência. Então:
X² : x = x
2x : x = 2
X
. ( x – 2 ) = 0
- Aqui temos o produto de x por x – 2. Para que
o resultado seja zero temos duas possibilidades: x = 0 ou x – 2 = 0.
- Então: x = 0
Ou x – 2 = 0
X = 0 + 2
X = 2
- Então, o número pensado é 0 ou 2.
4)
Os retângulos abaixo têm a mesma área. Vamos
calcular as medidas dos seus lados a partir dessa informação.
 |
|||
 |
|||
①
- Área do retângulo ①:
A ₁ = 2X . (X + 2) = 2X² + 4X
- Área do retângulo ②:
A₂ = X . (X + 8) = X ² + 8X
- Como as áreas são iguais;
A₁ = A₂
2X² + 4X = X² + 8X
- Resolvendo:
2X² + 4X – X² - 8X = 0
X² - 4X = 0
- Colocando em evidência:
X ( x – 4) = 0
X = 0 ou X – 4 = 0
X = 4
EXERCÍCIOS
1) Quais os valores reais que podem ser colocados
no lugar de x ?
a) X² = 9
X
= ______ ou X = ______
b) X² = 36
X = ______
ou X = ______
c) X² = 0,36
X = ______
ou X = ______
d) X² = 25/4
X = ______
ou X = ______
2) Qual é o lado do quadrado cuja a área é:
a) A = 169 m²
b) A = 1,69 m²
c) A = 100 m²
d) A = 1 m²
3) Indique quais das equações são possíveis de
resolver com os números reais:
a) X² - 9 = 0
b) X² + 9 = 0
c) -X² + 9 = 0
d) -X² - 9 = 0
4) Resolva as equações:
a) X² - 25 = 0
b) X² - 90 = 31
c) 2x² - 98 = 0
d) 24 = 6X²
e) 64x² - 1 = 0
f) 7x² - 14 = 0
g) -x² - 49 = 0
h) -25 + 100X² = 0
i)
X² - 81/4 = 0
j)
5X² + 4 = 49
5) Continue resolvendo:
a) 5(X² - 1) = 4(X² + 1)
b) 4X² - 27 = X²
c) 2X² + 11 = X² + 12
d) X(X + 2) = 2X + 25
6) O dobro do quadrado de um número é 72. Qual é
o número?
7) O que é preciso para que o produto de fatores
desconhecidos seja zero? (*
olhe o exemplo C)
8) Resolva as equações (exemplo C):
b) 2X(X – 5) = 0
c) (X + 3) . (X – 1) = 0
d) (X – 6) . (4X – 8) = 0
9) Resolva as equações usando fatoração:
a) X² - 8x = 0
b) X² + 3x = 0
c) 9x² = 5x
d) 5x² = -10x
e) 3x² - 9x = 0
f) 25x² - 5x = 0
Obs: essas equações
têm sempre duas raízes reais das quais uma é zero.
10) Em um quadrado de lado x, o número que
expressa a área é igual ao número que expressa o dobro do perímetro.
a) Quanto mede o lado do quadrado?
b) Qual é o perímetro do quadrado?
c) Qual é a área do quadrado?
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